В 90-е годы прошлого столетия научная работа на кафедре велась в двух фундаментальных областях математики – дифференциальные уравнения и математический анализ, по которым в ХГТУ с 1995 года функционировал докторский диссертационный совет. Долгие годы работали еженедельные научные семинары по каждой из специальностей, которые играли существенную роль в научной жизни г. Хабаровска и Дальнего Востока.
По каждой из областей исследования проводились по двум направлениям. В области дифференциальных уравнений это краевые задачи для нелинейных вырождающихся уравнений и уравнений переменного типа (нелинейная теплопроводность, задача Стефана, нелинейное уравнение Трикоми, уравнения Прандтля, Навье-Стокса, Бюргерса с вязкостью, зависящей от градиента и со сменой направления параболичности, некоторые классы вариационных неравенств). Развивались абстрактные методы исследования таких задач - метод компактности, метод исследования нелинейных уравнений в нецилиндрических областях, основанный на относительной компактности абстрактных функций из шкалы банаховых пространств.
Второе направление представляли линейные уравнения неклассического типа. К таким уравнениям относятся линейные вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, уравнения смешанного типа и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. Эти уравнения связаны с задачами газовой динамики, теории упругости и многими другими вопросами механики. Проводились интенсивные исследования по следующим темам: сингулярные краевые задачи для эллиптических и гиперболических уравнений с операторами Бесселя; задачи Дарбу-Проттера для многомерных гиперболических уравнений; численные методы решения вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа; специальные функции для вырождающихся эллиптических, гиперболических и ультрапараболических уравнений; спектральные задачи для вырождающихся эллиптических уравнений. Работали научно-исследовательский и учебный семинар «Уравнения неклассического типа».
Еще одной темой исследований были параболические уравнения со сменой направления параболичности, а также ультрапараболические уравнения, по которым получены фундаментальные результаты по оценкам потенциалов в гёльдеровских пространствах, качественно отличающихся от оценок для обычных параболических потенциалов.
По специальности «Математический анализ» на кафедре проводились научно-исследовательские работы по следующим темам: геометрическая теория меры на пространствах с субримановой геометрией, теория функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения на нильпотентных группах Ли, весовые неравенства Харди в банаховых функциональных пространствах на полуоси. По данным темам на кафедре работали еженедельно научно-исследовательский и учебный семинар «Функциональный анализ». Все научные исследования поддерживались двумя грантами Министерства образования РФ, грантом РФФИ, грантом ФЦП «Интеграция», зарубежными грантами и стипендиями.
В начале нового столетия по объективным причинам вышеупомянутые семинары прекратили работу и научно-исследовательская работа на кафедре приобрела индивидуальный характер. Наряду с продолжающимися исследованиями в областях математического анализа и дифференциальных уравнений появились исследования в других направлениях, таких как проблемы разрешимости оптимизационных задач, стохастические динамические системы, теория массового обслуживания, теория устойчивости систем разностных и дифференциальных уравнений. В ниже следующем обзоре представлены работы по этим направлениям:
Подгаев Александр Григорьевич
Специальность: 01.01.01 – функциональный анализ, 01.01.02 – дифференциальные уравнения
Направления исследований:
Разрешимость краевых нестационарных задач для квазилинейных вырождающихся уравнений с частными производными, в том числе в нецилиндрических областях и с неизвестной границей. Изучение вопросов компактности множеств, ориентированных на использование в дифференциальных уравнениях.
Результаты:
- Доказаны теоремы существования решений для нелинейных уравнений переменного типа, уравнений Кортвега-де Вриза-Бюргерса, для системы обобщенных уравнений Прандтля и уравнений Эйлера.
- Поставлена и изучена новая задача типа Стефана с неизвестной границей и неизвестным коэффициентом скрытой удаленной теплоты плавления.
- Доказаны теоремы об относительной компактности множеств из пространств Бохнера и шкалы банаховых пространств, имеющих приложения в задачах с нестационарными границами.
Основные публикации:
- Задача определения скрытой удельной теплоты плавления по величине зоны протаивания //Доклады Академии наук, 1977, т.253, №3. С 313-315.
- On relative compactness set of abstract functions from scale of the Banch spaces. Functional Analysis, Approximation Theory and Numerical Analysis. Word Scientifie Publisling Co. 4. London Singapure. 1994. C. 219-236.
- Разрешимость нелинейного с вырождением при производной по времени на решении уравнения теплопроводности в классах неограниченных функций //Доклады Академии наук, 2002, т.382, №3. С 1-3
- Краевая задача для уравнения Кортвенга-де Вриза-Бюргерса со знакопеременным коэффициентом. //Вестник ТОГУ, №4(7), 2007. С. 185-198, №4(8), 2008. С 9-20.
Маркова Наталья Владимировна
Направление исследований:
Изучение моделей резервирования и массового обслуживания с применением асимптотических методов.
Результаты:
- Для определения вероятности наличия элементов на рабочих местах системы резервирования с восстановлением (с конкуренцией между ремонтными местами и без таковой) обнаружено явление типа фазового перехода.
- Получены новые предельные соотношения для хвоста распределения интервалов между выходом заявок и хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания в нестационарном режиме.
- Получены новые асимптотические формулы для хвостов распределения времени ожидания в одноканальных системах массового обслуживания.
Основные публикации:
- Переходные явления в объединенной системе резервирования с восстановлением. //Дальневост. матем. журнал. 2001. Т. 2. №2. – С. 106-114.
- Маркова Н.В. Асимптотический анализ времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания. //Дальневост. матем. журнал. 2004. Т. 5. №1. – С. 66-71.
- Маркова Н.В., Цициашвили Г.Ш. Асимптотические формулы распределения времени работы сети //Автоматика и телемеханика. 2008. №1. – С.80-182.
- Гренкин Г.В., Маркова Н.В., Цициашвили Г.Ш. Свойства компонент связ-ности параллельно-последовательных соединений. //Дальневост. матем. жур-нал. – 2012. Т. 12. №1. – С. 12-19.
- Цициашвили Г.Ш., Осипова М.А., Маркова Н.В. Рекуррентная последова-тельность параллельно-последовательных соединений.// Вестник Тихоокеан-ского государственного университета. – №3(26), 2012. – С. 27-32.
Прудников Виталий Яковлевич
Направление исследований:
Изучение проблем разрешимости оптимизационных задач.
Результаты:
- Получен критерий коэрцитивности выпуклых по направлениям функционалов.
- Неравенство Иенсена распространено на идеальные пространства.
- Получено условие полунепрерывности интегральных функционалов на композиции идеальных пространств.
Последние публикации:
- О коэрцитивности выпуклых функционалов. //Известия вузов. Математика, 2005г.
- Неравенство Иенсена в идеальных пространствах. // Сиб. ж. инд. матем., 2007г.
- Неравенство Иенсена в произвольных идеальных пространствах. //Вестник ТОГУ, №4(8), 2008.
- Prudnikov V.Ya. The Jensen Inequality in Ideal Spaces. Journal of Applied and Industrial Mathematics. – 2009. Vol. 3, No 2. – Pp. 1–10.
- Прудников В. Я. Полунепрерывность интегральных функционалов.// Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информаци-онных наук». – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – С. 49.
- Прудников В. Я. О существовании равномерно выпуклых функционалов. // Труды Всерос. конф. XXXV-я Дальневост. Матем. Школа-семинар им. ак. Е. В. Золотова. – Владивосток, 2010. – С. 144–147.
- Прудников В. Я. Минимизация функционалов на замкнутом ограниченном множестве. // Тез. докл. Междун. конф. «Торическая топология и автоморфные функции». – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011. – С. 171.
- 8. Прудников В. Я. Модуль выпуклости одного функционала в равномерно вы-пуклом банаховом пространстве. // Тез. докл. «Алгоритмический анализ неус-тойчивых задач». – Екатеринбург, 2011. – С. 64–65.
- Прудников В. Я. Минимизация функционалов на замкнутом множестве. // Тез. докл. Междун. конф. «Обратные и некорректные задачи математической физики». – Новосибирск, 2012. – С. 425.
Карачанская Елена Викторовна
Направление исследований:
Исследование стохастических динамических систем и построение их программных управлений с вероятностью 1.
Результаты:
- Получено аналитическое решение для стохастического дифференциального уравнения специального вида.
- Разработана модель динамики полимерной цепи конечной длины с бесконечным числом звеньев под действием случайных возмущений.
- Разработан алгебраический алгоритм построения программного управления с вероятностью 1 стохастической динамической системы на динамическом многообразии.
- Разработан алгоритм построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе известного множества его первых интегралов.
- Разработан алгоритм построения программных управлений детерминированной системой на основе заданного интегрального многообразия движения системы.
Последние публикации:
- Карачанская (Чалых) Е.В. Построение программного управления стохастической системы на динамическом многообра-зии. // Препринт. Владивосток: Ин-т прикл. мат. ДВО РАН, 2008.
- Chalykh E. The Construct of the Program Control with Probability is Equaled to 1 for the Some Class of Stochastic Systems // Journal of Ubiquitous Convergence Technology (JUCT). – Vol. 2, No 2, November 2008. – pp. 105-108.
- Чалых Е.В. Построение программного управления с вероятностью 1 для сто-хастических динамических систем // Дифференциальные уравнения. Функцио-нальные пространства. Теория приближений. // Тез. докл. Междун. конф., по-священ. 100-летию со дня рожд. С.Л.Соболева (Новосибирск, 5-12 октября 2008г.). /Ин-т математики СО РАН. – Новосибирск: 2008. – С. 227.
- Чалых Е.В. Алгебраическое построение программных управлений детерми-нированной системы // Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук». – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – C.157.
- Чалых Е.В. Построение всего множества дифференциальных уравнений по известному множеству его первых интегралов // Тез. докл. Междун. конф. «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук». – Хаба-ровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – C.57-59.
- Чалых Е.В. Построение множества программных управлений с вероятно-стью 1 для одного класса стохастических систем // Автоматика и телемеханика, 2009, №8. – С. 110–122. (Пер. на англ.: Chalykh E. Constructing the set of prog-ram controls with probability 1 for one class of stochastic systems // Automation and Remote Control, Volume 70, Number 8. – Pp. 1364-1375).
- Карачанская Е. В. Построение множества дифференциальных уравнений, обладающих заданным набором первых интегралов: препринт № 152. – Хаба-ровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 19 с.
- Карачанская Е. В. Программные управления движением детерминированной системы по заданному целевому множеству: препринт № 153. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 15 с.
- Дубко В. А., Карачанская Е. В. SНCS-ряды и их применение для обобщения, классификации и моделирования случайных гармонических процессов: пре-принт № 154. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010. – 31 с.
- Karachanskaya (Chalykh) E. Dynamics of random chains of finite size with an infinite number of elements in R2. // Theory of Stochastic processes. 2010 vol.16 (32), no. 2. – Pp. 58-68.
- Дубко В. А., Карачанская Е. В. Нахождение автоморфных преобразований для заданной функции. // Торическая топология и автоморфные функции: тез. докл. Междун. конф., Хабаровск, 5-10 сентября 2011 г. / под научной ред. Бух-штабера В.М., Быковского В.А. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011. – С.143-144.
- Дубко В. А., Карачанская Е. В. Классификация и моделирование случайных гармонических процессов на основе SHCS-рядов // Математические заметки ЯГУ, 2011, т.18, вып.1. – C. 36–54.
- Карачанская Е. В. Об одном из обобщений формулы Ито-Вентцеля. // Обо-зрение прикладной и промышленной математики. – 2011, т.18, вып.2. – С.494-496.
- Карачанская Е. В. Построение программных управлений динамической системы на основе множества ее первых интегралов // Труды Междун. конф. по математической теории управления и механике (Суздаль, 3–7 июля 2009). – М.: СМФН, 42, РУДН, 2011. – С. 125–133.
- Карачанская Е. В. Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями // Вестник Тихо-океанского государственного университета. – № 2(21), 2011. – С.51–60.
- Карачанская Е. В. Построение множества дифференциальных уравнений с заданным набором первых интегралов // Вестник Тихоокеанского государствен-ного университета. – № 3(22), 2011. – С.47–56.
- Карачанская Е. В. Моментные характеристики и динамика положения диффундирующей на сфере точки под действием пуассоновских скачков // Вестник Тихоокеанского государственного университета. – № 1(24), 2012. – С.69–72.
- Дубко В. А., Карачанская Е. В., Карачанский А. В. Стохастические ориен-тированные цепи. Модели и применение // Математические заметки ЯГУ, 2012, т.19, вып.1. – C. 169-183.
- Дубко В. А., Карачанская Е. В. О двух подходах к построению обобщенной формулы Ито-Вентцеля: препринт № 174. / Вычислительный центр ДВО РАН. – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. – 27 с.
- Карачанская Е. В. Программное управление стохастическими системами с вероятностью единица как применение метода инвариантов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высоко-технологичных систем [Текст]// Тез. докл. Всеросс. конф. с междун. участием. Москва, РУДН, 23-27 апреля 2012 года. – М.: РУДН, 2012. – C. 285-287.